电子光学基础：电子的速度与波长

先列个表
电子的质量与电荷量
电子速度与加速电压
电子波长与加速电压
参考

先列个表

不同加速电压下电子速度、质量比与波长

加速电压 (kV)	速度 (\times10^8 m/s)	质量/静止质量	波长 (nm)
0.10	0.059301	1.000196	0.122637
1.00	0.187279	1.001957	0.038764
5.00	0.416334	1.009785	0.017302
10.00	0.584552	1.019570	0.012205
15.00	0.710838	1.029354	0.009941
20.00	0.815034	1.039139	0.008589
30.00	0.984447	1.058709	0.006979
40.00	1.121403	1.078278	0.006016
50.00	1.237202	1.097848	0.005355
60.00	1.337748	1.117417	0.004866
80.00	1.506154	1.156556	0.004176
100.00	1.643525	1.195695	0.003701
120.00	1.758795	1.234834	0.003349
160.00	1.942975	1.313112	0.002851
2000.00	2.935190	4.913902	0.000504
5000.00	2.985009	10.784756	0.000226
10000.00	2.994380	20.569512	0.000118

可以看出，电子质量相对其静止质量的比值，在 U=10^4 V 时，增大不到2%。所以在真空器件中，当 U<10^4 V 时，一般可不考虑相对论效应。在同样的加速电压下，对于离子来说，速度比电子慢很多，相对论修正会更小，需要在更高电压下才考虑相对论效应。

如上表格容易通过一段简单的python脚本生成

import math

e = 1.602176634e-19
m0 = 9.10938356e-31
c = 2.99792458e8
h = 6.62607015e-34

voltages = [100, 1e3, 5e3, 1e4, 1.5e4, 2e4, 3e4, 4e4, 5e4, 6e4,
            8e4, 1e5, 1.2e5, 1.6e5, 2e6, 5e6, 1e7]

data = []
for V in voltages:
    v = c * math.sqrt(1 - (1 / (1 + e * V / (m0 * c**2)))**2)

    me_m0_ratio = 1 / math.sqrt(1 - (v**2 / c**2))
    me = me_m0_ratio * m0
    wavelength = h / (me * v)

    data.append([V * 1e-3, v * 1e-8, me_m0_ratio, wavelength * 1e9])

print(f"加速电压（kV）\t 速度（×10^8 m/s）\t 质量比, 波长（nm）")
for row in data:
    print(f"{row[0]:.2f} \t{row[1]:.6f} \t{row[2]:.6f} \t{row[3]:.6f}")

简单看看公式是怎么来的...

电子的质量与电荷量

1897年，汤姆孙（J. J. Thomson）通过带电粒子在电磁场中的偏转，设计实验测得了阴极射线的荷质比为 e/m = 7.6 \times 10^{10}\, \text{C/kg}。稍后，密立根（R. A. Millikan）通过油滴实验测定了这种粒子的电荷量 e \approx 1.602 \times 10^{-19}\, \text{C}，从而也就确定这种粒子的质量。阴极射线中这种带电量与氢离子相同但符号相反、质量大约为氢离子千分之一的粒子，被称为电子（Electron）。

电子的电荷量是自然界中电荷的最小单位，通常被称为“基本电荷”。根据国际单位制（SI）2019年的修订，基本电荷的数值固定为：¹

e = 1.602176634 \times 10^{-19} \, \text{C}

电子的质量（静止质量）约为：²

m_0 \approx 9.1093837139 \times 10^{-31} \, \text{kg}

根据狭义相对论，电子与其他物质粒子一样，其质量随运动速度的变化而变量。运动中的电子质量 m_v 与其静止质量 m_0 的关系如下：

m_v = \frac{m_0}{\sqrt{1-\big(\frac{v}{c}\big)^2}}

注：由上式可见，当 v\ll c 时，v/c \ll 1，m_v \approx m_0。即慢速运动的电子质量可视为等同于它的静止质量。

在自由空间中，用加速电位U，取代式子中的速度v（见下一节），可得：

m_v = m_0 (1 + 1,957 \times 10^{-6} U) \, \text{kg}

电子速度与加速电压

假定电子初速度为0，在加速电压 U下获得速度v_0，在低速时，认为其质量与速度无关，依据能量守恒定理，可得：

v_0 = \sqrt{\frac{2 \lvert e \rvert U}{m_0}} \approx 5.932 \times 10^5 \sqrt U\, \text{m/s}

另一方面，依据质能关系式，有下列关系成立：

m_v c^2 = m_0 c^2 + \lvert e \rvert U

其中，电压 U 单位为伏特。

将上一节 m_v 带入上式，可得到考虑相对论修正后的电子速度：

v = c \sqrt{1-\frac{1}{\big(1+\frac{ \lvert e \rvert U}{m_0c^2}\big)^2}}

如将 v_0 代入，便有：

v = c \sqrt{1-\frac{1}{\big(1+\frac{v_0^2}{2c^2}\big)^2}}

若将电子的荷质比 e/m_0 与光速 c 的数值带入，并考虑 U 单位为伏特，可得到电子速度与质量的相对论修正公式：

v = 3 \times 10^8 \sqrt{1-\frac{1}{(1+1.957 \times 10^{-6} U)^2}} \, \text{m/s}

电子波长与加速电压

1923年，法国科学家德布罗意（Louis de Broglie）在光的波粒二象性启示下，提出了实物粒子，如电子、质子、中子等也都具有波粒二象性。但是德布罗意的假说发表后，并没有立即得到科学界重视。直到1927年戴维森 (Clinton Davisson) 和革末 (Lester Germer)用电子衍射试验验证了电子的波动性。

按德布罗意的假设，质量为 m 的粒子，以速度 v 运动时，其具有：

粒子特征：能量 E 和动量 p
波动特征：波长 \lambda 和频率 \gamma

像光子一样，粒子特征与波动特征通过普朗克常数h定量地联系起来：

E = mc^2 = h\gamma \\ p = mv = \frac{h}{\lambda}

上述公式称为德布罗意公式。

对于任何具有静止质量 m_0 以速度 v 运动的粒子，所具有的波，通常称为德布罗意波或物质波。当 v\ll c 时，其波长为：

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_0 v}

考虑只受电场（加速电压为 U)加速的电子，将非相对论下的速度关系式带入，可得：

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\lvert e \rvert m_0}} \frac{1}{\sqrt{U}}

将具体数值带入：

\lambda = 1.226 \frac{1}{\sqrt{U}} \, \text{nm}

当电子运动速度较高时，需要考虑相对论修正，可用如下公式进行计算：

\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{h}{m_0 v} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{h}{\sqrt{2\lvert e \rvert m_0 U}} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{\lvert e \rvert U}{2 m_0 c^2}}}

带入具体数值，可得：

\lambda = \frac{1.226}{\sqrt{U}} \frac{1}{\sqrt{1+0.978 \times 10^{-6} U}} \, \text{nm}

当 U=1000 V 时，计算 \lambda \approx 0.0388 nm，而当 U=10 kV 时，计算 \lambda \approx 0.01226 nm。可见电子的德布罗意波长时很短的，其数量级相当于或略小于晶体中的原子间距，远小于可见光的波长400nm~700nm。

参考

姚宗熙等《物理电子学》，西安交通大学

https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?e|search_for=e ↩
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?me|search_for=mass ↩

1+1=10

记记笔记，放松一下...

电子光学基础：电子的速度与波长

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电子的质量与电荷量

电子速度与加速电压

电子波长与加速电压

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