数字 $e$ 在数学中具有重要的地位，与 0、1、$\pi$ 和 $i$ 并列。这五个数都出现在欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 这一个公式中。但 $e$ 不像其他数学常数具有清晰几何意义，它的发现源于对增长和变化的研究，其值约为 2.718281828459045…，是一个无理数和超越数，无法用分数表示，也不满足任何代数方程。

它有多个指代名称：

• 自然常数（Natural constant）/自然底数（Natural base）
• 欧拉数（Euler's number）
• 纳皮尔常数（Napier's constant）

使用欧拉数称呼它时要注意上下文，也需要和欧拉常数γ区分。

历史

$e$ 的发现通常归功于 17 世纪后期的雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），他在研究复利（compound interest)问题时偶然发现了它。

• 1614年: 约翰·纳皮尔（John Napier）发明了对数，间接推动了 $e$ 的发现。
• 1683年: 雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在研究复利时首次接触到自然常数 $e$。
• 1690年代: 莱布尼茨（Leibniz）在微积分中为后来发现 $e^x$ 的导数性质奠定了基础。
• 1731年: 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）首次使用符号 $e$ 表示该常数。
• 1737年: 欧拉系统化了 $e$ 的定义，并推广了其在数学中的应用。
• 1748年: 欧拉推导出著名的欧拉公式 $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$。
• 1873年：夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）证明 $e$ 为超越数（transcendental number），这是数学史上的里程碑式成就。

超越数（transcendental number）：指的是不满足任何有理系数的多项式方程的实数或复数。换句话说，超越数不是代数数（algebraic number），不能是任何整系数多项式的根。

定义

$e$ 一般使用复利增长的概念进行定义，也可以使用级数展开方式。

通过极限

这是源自复利增长的一个定义。当复利的计算频率趋向无穷时，复利的极限值就是自然常数 $e$。

假设初始金额 $P = ¥1$，年利率 $r = 100%$

复利频率	每年复利次数	公式	1年后的金额
每年	1	$1 \left(1 + \frac{1}{1}\right)^{1} = 2$	¥2.00000000
每半年	2	$1 \left(1 + \frac{1}{2}\right)^{2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2.25$	¥2.25000000
每季度	4	$1 \left(1 + \frac{1}{4}\right)^{4} = \left(\frac{5}{4}\right)^4 \approx 2.44140625$	¥2.44140625
每月	12	$1 \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.61303529$	¥2.61303529
每周	52	$1 \left(1 + \frac{1}{52}\right)^{52} \approx 2.692596954$	¥2.692596954
每天	365	$1 \left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.714567482$	¥2.714567482
每小时	8760	$1 \left(1 + \frac{1}{8760}\right)^{8760} \approx 2.718126693$	¥2.718126693
每分钟	525600	$1 \left(1 + \frac{1}{525600}\right)^{525600} \approx 2.718279243$	¥2.718279243

随着复利频率的增加，金额逐渐逼近自然常数，可以通过以下极限定义：

$$e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$

通过级数展开

也可以通过其泰勒级数展开来定义：

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

当 $x = 1$ 时，我们可以得到 $e$ 的级数展开：

$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots$$

这个无穷级数可以用于计算 $e$ 的精确值，并且它收敛得非常快。

微分性质

$e$ 是唯一一个满足其导数等于自身的函数。即对于函数 $f(x) = e^x$ ，有：

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

这一特性使得 $e$ 在微积分中的应用非常广泛。

看两个例子：

齐次常系数微分方程

齐次常系数微分方程(homogeneous constant-coefficient differential equation)指的是所有项都与未知函数及其导数有关，且系数为常数，且方程右侧等于零的微分方程。

常系数微分方程有点像y的多项式，只不过它用的是y的导数，而不是幂。

一阶齐次常系数微分方程

$$\frac{dy}{dx} + py = 0$$

解的形式：

$$y(x) = C e^{-px}$$

二阶齐次常系数微分方程

$$y'' + p y' + q y = 0$$

根据其特征方程：

$$r^2 + pr + q = 0$$

分别讨论：

• 两个不同实根 $r_1$ 和 $r_2$：

$$y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$

• 两个相同实根 $r_1 = r_2 = r$：

$$y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$$

• 两个共轭复根 $r_1 = \alpha + i\beta$，$r_2 = \alpha - i\beta$：

$$y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$$

泰勒级数

$e^x$这个微分特性配合泰勒级数/麦克劳林级数很容易展开。

泰勒级数是将一个函数在某点附近通过无穷级数展开的方式来近似表示。给定函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处，如果该函数在 $a$ 附近具有足够的导数，那么它可以用以下形式的泰勒级数表示：

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots$$

其中：

• $f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处的第 $n$ 阶导数。
• $n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1$。

当 $a = 0$ 时，泰勒级数简化为麦克劳林级数。

函数 $e^x$ 在 $a = 0$ 处的麦克劳林级数为：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

这个级数在整个实数范围内收敛，并且是 $e^x$ 的精确表示。

自然对数

在16世纪末和17世纪初，科学、天文学和航海等领域需要进行大量的复杂计算，尤其是涉及到乘法、除法、乘方和开方的计算。这些计算在没有现代计算工具的情况下非常耗时且容易出错。为了简化这些繁琐的计算，纳皮尔提出对数，它可以将乘法运算转换为加法，将除法运算转换为减法，极大地减少计算的复杂性。

对数

对于任意正数 $x$ 和底数 $b$（$b > 0$ 且 $b \neq 1$），$b$ 的对数可以定义为：

$$\log_b(x) = y \quad \text{当且仅当} \quad b^y = x$$

常用的对数有以10为底数和以自然常数为底的。

自然对数的底

自然常数也是自然对数（$\ln(x)$）的底数。自然对数是 $e^x$ 的反函数：

$$\ln(e) = 1$$

涉及自然对数一些恒等式（注意大于0的条件），可放个全家福：

恒等式	解释
$\ln(1) = 0$	自然对数 1 的值为 0
$\ln(e) = 1$	自然对数$e$ 的值为 1
$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$	自然对数将乘法转化为加法
$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$	自然对数将除法转化为减法
$\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$	对数的幂可以作为系数提到前面
$\ln(e^x) = x$	自然对数与指数函数互为反函数
$e^{\ln(x)} = x$	指数运算和自然对数互为反函数
$\log_b(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}$	任意底数$b$ 的对数通过自然对数转换【换底公式】
$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$	自然对数函数的导数【神奇】
$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C$	自然对数函数的积分公式

1/x 的积分

难以想象，$1/x$的积分会是自然对数 $\ln(x)$。

在微积分中，幂函数 $f(x) = x^n$ 的积分通常遵循一个简单的规则，称为幂函数积分法则。对于 $n \neq -1$ 的幂函数，积分公式为：

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

当 $n = -1$ 时，直接使用幂函数积分法则会导致分母为零（$n + 1 = 0$），因此该公式不适用。这就使得 $\frac{1}{x}$（即 $x^{-1}$）变得特别，它的积分必须通过其他方法来处理。

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$$

注意公式中的绝对值，这可以写成一个分段函数，而且两段的 $C$ 的值还不一样。

这一性质源自对数函数的定义。自然对数函数 $\ln(x)$ 是 $e^x$ 的反函数，并且它的导数恰好是 $\frac{1}{x}$：

$$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$$

该公式的证明直接使用导数定义（并配合对数法则）进行。

与复数（三角函数）的关系

在欧拉公式中：

$$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$$

当 $\theta = \pi$ 时，欧拉公式推导出一个非常美丽的结果，称为欧拉恒等式：

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

这个公式将数学中五个最重要的常数 $e$、$\pi$、$i$、1 和 0 联系在了一起。

复平面点坐标

在复平面极坐标系内，坐标点用$(r, \theta)$表示，可以通过如下公式转到笛卡尔坐标系：

$$x = r\cos(\theta) \\ y = r\sin(\theta)$$

所以，复数

$$z = x + iy= r\cos(\theta) + r\sin(\theta)$$

前面欧拉公式右侧是复平面单位圆上点的坐标。

如果 $(r, \theta)$ 和 $(x,y)$是同一个点，有

$$x + iy = r e^{i\theta}$$

欧拉公式证明

将$e^{ix}$ 的幂级数展开：

$$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!}$$

• 当 $n$ 为偶数时，$(ix)^n = i^n \cdot x^n = (-1)^{n/2} \cdot x^n$，因为 $i^2 = -1$。
• 当 $n$ 为奇数时，$(ix)^n = i^n \cdot x^n = (-1)^{(n-1)/2} \cdot i \cdot x^n$。

将 $e^{ix}$ 的幂级数展开为偶数项和奇数项：

$$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

其中：

• 实部，是所有偶数幂项的和。它正是 $\cos(x)$的泰勒展开式。
• 虚部，是所有奇数幂项的和。它正是 $\sin(x)$的泰勒展开式。

双曲函数

双曲函数（hyperbolic functions）与三角函数类似，但定义在指数函数的基础上。最常用的双曲函数是双曲正弦 $\sinh(x)$ 和双曲余弦 $\cosh(x)$。

三角函数

• $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$
• $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

双曲函数

• $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

应用

放几个微分相关例子

电路中的电容放电

电容器的放电过程遵循一阶齐次微分方程。考虑一个电容通过电阻放电的电路，根据电流连续性，可列电压 $V(t)$ 随时间的变化方程：

$$C\frac{dV}{dt} + \frac{V}{R} = 0$$

即：

$$\frac{dV}{dt} + \frac{1}{RC} V = 0$$

解的形式为：

$$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{RC}}$$

其中：

• $V_0$ 是初始电压，
• $R$ 是电阻，
• $C$ 是电容。

牛顿冷却定律

牛顿冷却定律描述了物体的温度变化速率与其温度 $T(t)$ 和环境温度 $T_{\text{env}}$ 之间的差异成正比：

$$\frac{dT}{dt} = -k \left( T(t) - T_{\text{env}} \right)$$

其中：

• $T(t)$ 是物体在时刻 $t$ 的温度。
• $T_{\text{env}}$ 是环境温度（常数）。
• $k$ 是冷却常数，代表冷却的速度。

其解：

$$T(t) = T_{\text{env}} + (T_0 - T_{\text{env}}) e^{-kt}$$

RLC电路中的振荡

RLC电路的响应可以用二阶齐次常系数微分方程来描述。根据回路电压和为零，RLC串联电路的电流 $I(t)$ 满足以下方程：

$$L \frac{dI}{dt} + R I + \frac{1}{C} \int I(t) dt = 0$$

执行一次微分操作消除积分，可以得到方程：

$$L \frac{d^2I}{dt^2} + R \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} I = 0$$

其中：

• $L$ 是电感，
• $R$ 是电阻，
• $C$ 是电容。

特征方程为：

$$Lr^2 + Rr + \frac{1}{C} = 0$$

根据判别式 $\Delta = R^2 - 4L/C$ 的值，电路可以表现出：

• 欠阻尼振荡（振荡电流随时间逐渐衰减）；
• 过阻尼（电流缓慢趋于零）；
• 临界阻尼（最快的无振荡衰减）。

机械系统中的振动

在机械工程中，简单的阻尼振子（如弹簧-阻尼系统）可以用二阶齐次常系数微分方程来描述。方程形式为：

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0$$

其中：

• $m$ 是质量，
• $c$ 是阻尼系数，阻尼力和速度成正比，方向相反。
• $k$ 是弹簧常数。弹力和位移成正比，方向相反。

这就是阻尼振动方程，其特征方程为：

$$mr^2 + cr + k = 0$$

根据判别式的不同，解可以是欠阻尼、临界阻尼或过阻尼的形式：

• 欠阻尼：$x(t) = e^{-\alpha t} (C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t))$
• 临界阻尼：$x(t) = (C_1 + C_2 t) e^{-\alpha t}$
• 过阻尼：$x(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$

参考

• https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation