先列一些流水账，熟悉一下术语

电磁场数值计算的核心是通过计算机求解麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组是描述电场和磁场相互作用的基本方程，但对于复杂的边界条件和介质分布，解析求解十分困难。这时，需要通过数值方法将这些偏微分方程离散化，并利用计算机进行求解。

通过数值方法和计算机仿真来求解电磁场问题的学科，还有个专门名字——计算电磁学（Computational Electromagnetics, CEM）。

术语

• FDM: Finite Difference Method（有限差分法）
• FDTD: Finite Difference Time Domain（有限差分时域法）
• FEM: Finite Element Method（有限元法）
• MoM: Method of Moments（矩量法）
• BEM: Boundary Element Method（边界元法）
• GO: Geometrical Optics（几何光学）
• PO: Physical Optics（物理光学）
• GTD: Geometrical Theory of Diffraction（几何绕射理论）
• UTD: Uniform Theory of Diffraction（均匀绕射理论）
• PTD: Physical Theory of Diffraction（物理绕射理论）
• MLFMA: Multilevel Fast Multipole Algorithm（多层快速多极子算法）
• FFT: Fast Fourier Transform（快速傅里叶变换）
• ACA: Adaptive Cross Approximation（自适应交叉逼近）
• MLMDA: Multilevel Matrix Decomposition Algorithm（多层矩阵分解算法）
• RCS：Radar Cross-Section (雷达散射截面)
• IE：Integral Equation (积分方程)
• DE：Differential Equation（微分方程）
• TDDE: Time Domain Differential Equation（时域微分方程）
• TDIE: Time Domain Integral Equation（时域积分方程）
• FDIE: Frequency Domain Integral Equation（频域积分方程）
• FDDE: Frequency Domain Differential Equation（频域微分方程）

CEM发展历史

随着计算技术和电磁理论的进步，CEM经历了不同的阶段

1. 解析法阶段（20世纪中期之前）

在计算机技术尚未发展之前，电磁问题的求解主要依赖于解析方法，通过严格的数学推导来解决麦克斯韦方程。解析法能够提供封闭形式的解决方案，但仅适用于较为简单的几何结构和理想化的边界条件，并需要依托高超的数学技能。

• Mie级数：用于解决电磁波在球形对象上的散射问题。
• 其他经典解析方法：如分离变量法、傅里叶级数解等。

局限：解析法只能处理简单的几何结构和边界条件，对于复杂的三维结构和非均匀介质问题，无法提供有效的解。

2. 近似法阶段（20世纪60年代到80年代）

随着计算机的出现，解析法的局限性逐渐显现。为了应对更复杂的电磁问题，开始发展近似法。这些方法在一定的假设条件下对问题进行简化，以减少计算复杂度。近似法通常应用于高频电磁波的传播和散射问题。

• 几何光学（GO）：将电磁波近似为光线，波的传播问题可以采用射线追踪（Ray-Tracing）分析，适用于波长远小于物体尺寸的情况。忽略了波动的干涉和衍射效应，主要用于反射和折射问题。
• 物理光学（PO）：在几何光学的基础上增加了对衍射效应的考虑，适用于大尺寸物体上的散射问题。
• 几何绕射理论（GTD）：扩展了几何光学，能够处理电磁波沿物体边缘的绕射。
• 均匀绕射理论（UTD）：是 GTD 的改进，能够更准确地处理绕射问题。

应用与局限：这些方法特别适合处理大尺度物体的电磁波传播和散射问题，广泛应用于雷达散射、天线设计等领域。但它们的精度依赖于特定条件，无法处理所有的电磁场问题。

3. 数值方法阶段（20世纪80年代至今）

随着计算机性能的增强，数值方法成为解决复杂电磁问题的主要手段。数值方法通过将麦克斯韦方程组离散化为代数方程，从而能够处理复杂几何结构、异质介质以及复杂边界条件下的电磁问题。

• 有限差分时域法（FDTD）：基于时域求解，适合模拟电磁波的时域传播过程。它简单易实现，广泛用于天线设计、微波电路、雷达散射等领域。
• 有限元法（FEM）：通过将计算区域划分为多个有限单元，解决复杂几何和非均匀介质问题。FEM 被广泛应用于波导、天线、雷达散射等领域，尤其适合处理复杂边界条件。
• 矩量法（MoM）：基于积分方程，主要用于开放空间中的电磁波问题，如天线和电磁散射。它适合处理自由空间中的问题，但对计算资源要求较大。

应用：数值方法能够处理复杂几何、异质材料和复杂边界条件，是现代工程中电磁仿真的核心技术。随着计算机的进步，数值方法可以应用于越来越复杂的系统。

4. 快速求解技术阶段（21世纪至今）

随着电磁问题的复杂性和规模不断增加，传统的数值方法在计算时间和内存占用方面面临挑战。为了解决这些问题，快速求解技术应运而生。这些技术通过优化算法、数据压缩和并行计算，大幅提高了大规模问题的求解效率。

• 迭代求解技术
  • 多层快速多极子方法（MLFMA）：通过分层多极展开和分组处理，减少大规模电磁散射问题的计算复杂度，特别适合处理大尺度的问题。
  • 快速傅里叶变换（FFT）：用于加速卷积运算，减少矩阵求解的运算时间。
  • 自适应交叉逼近（ACA）：一种矩阵压缩技术，能够有效减少存储需求和计算时间，特别适用于多尺度问题。

• 直接求解技术：
  • 分层矩阵方法（Hierarchical Matrix Methods）：通过对矩阵进行分层压缩，能够减少大型系统的计算和存储需求。
  • 多层多尺度分析（MLMDA）：能够处理同时包含大尺度和小尺度特征的电磁问题，特别适合复杂结构的仿真。

这些快速求解技术使得大规模和复杂电磁问题的仿真成为可能，特别是在天线阵列、雷达散射和复杂电磁环境的应用中。

不同视角比较

1. 频域（Frequency-Domain） vs. 时域（Time-Domain）

• 频域：适合处理稳态和尖锐共振问题，处理斜入射和周期性问题非常快，但可能错过一些细微的共振现象。
• 时域：适合宽频带模拟，尤其在有源和非线性器件中表现出色，且扩展性好，但内存需求较大，处理纵向周期性和斜入射时存在困难。

2. 半解析（Semi-Analytical） vs. 全数值（Fully Numerical）

• 半解析：收敛性好，适合复杂几何结构，但内存需求大，处理长均匀段时效率较低。
• 全数值：非常快且高效，适合分层器件和复杂几何，但收敛性有时较差。

3. 傅里叶空间（Fourier-Space） vs. 实空间（Real-Space）

• 傅里叶空间：适合高折射率对比、金属材料和细节解析，但在低折射率对比下速度较慢。
• 实空间：非常适合处理周期性问题，速度快，内存占用低，但难以实现场可视化和解析复杂细节。

4. 非结构化网格（Unstructured Grid） vs. 结构化网格（Structured Grid）

• 非结构化网格：实现简单，适合矩形结构，但效率较低，难以处理曲面。
• 结构化网格：效率最高，适应大规模结构和曲面，但实现复杂，可能产生伪解。

5. 积分法（Integral-Based） vs. 微分法（Differential-Based）

• 积分法：使用稀疏矩阵，实现简单，适合表面网格，但需要体积网格，可能出现伪解。
• 微分法：只需表面网格，适合处理大规模结构，但矩阵是全矩阵，公式推导较复杂。

软件

一些商业软件

一些开源软件

参考

• 电磁计算方法的发展与展望 链接2
• https://empossible.net/academics/emp5337/
• https://engineering.purdue.edu/wcchew/ece604f19/Lecture%20Notes/Lect36.pdf
• https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_electromagnetics
• https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_element_software_packages