电子是现代物理学的重要组成部分。但是电子的发现与研究并不是一蹴而就的，它经历了一个漫长而曲折的历史过程。
在粒子物理的标准模型中，电子属于轻子家族，是第一代轻子，同时也是费米子。电子参与电磁相互作用和弱相互作用，但不参与强相互作用。
电子发现与名字起源？
- 1838年，英国自然哲学家理查德·拉明（Richard Laming）首次提出了不可分割的电荷单位的概念，以解释原子的化学性质。
- 1858年，德国物理学家普吕克尔（Julius Plücker）就首次观察到了阴极射线（电子）在磁场中的偏转。他的工作表明阴极射线可以被磁场影响，但当时并不知道这些射线的本质是什么。
- 1891年，爱尔兰物理学家乔治·约翰斯通·斯托尼（George Johnstone Stoney）研究电解时，认为存在一种基本的电荷单位，并为这种电荷单位命名为“electron”。【英文 “electron” 是从 希腊语 “ἤλεκτρον” (ēlektron) 演变而来的，原意为“琥珀”。早在古希腊时期，人们就发现摩擦琥珀可以吸引轻小物体，这也是人类最早接触到的与电现象相关的实验现象之一。】
- 1897年，J.J.汤姆森（J. J. Thomson）及其英国物理学家团队通过阴极射线管发现一种比氢原子轻得多的带负电的粒子。最初并没有直接称其为 “electron”，而是将这些粒子称为 “corpuscles” （意为“微粒”或“粒子”），由于这个词早在十七世纪的 “微粒学说”（Corpuscular Theory）中就被广泛使用，所以在汤姆森的时代它就已经带有一些过时的色彩，且容易与之前的概念混淆。最终“electron”获得众多科学家支持。
電子（でんし，denshi）这个翻译最早起源于 日本。随后，中国的学者和翻译家沿用了日本翻译的许多科学术语，包括“电子”这个词。
原子中电子模型进化历史?
| 序号 | 模型名称 | 提出年份 | 特点 | 背景 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 道尔顿原子模型 | 1803 年 | 1. 原子是不可再分的实心小球。 2. 不同元素的原子具有不同的质量和性质。 |
基于质量守恒定律、定比定律和倍比定律，表明化学反应中物质以固定比例组合。道尔顿的气体研究揭示了物质由微小粒子（原子）组成。 |
| 2 | 汤姆孙“葡萄干布丁”模型 | 1897 年 | 1. 原子是一个带正电的球体，电子像“葡萄干”一样嵌在其中。 2. 电子带负电，原子整体保持电中性。 |
通过阴极射线实验发现电子，证明原子由更小的带电粒子组成。该模型试图解释原子中的正负电荷分布。 |
| 3 | 拉塞福核式原子模型 | 1911 年 | 1. 原子的质量和正电荷集中在一个非常小的核心（原子核）。 2. 电子像行星绕太阳一样绕着这个正电核旋转。 |
拉塞福通过α粒子散射金箔实验发现，大多数α粒子穿过金箔，少数发生强烈偏转，表明原子的质量集中在小核内，电子围绕核运动。 |
| 4 | 玻尔量子化轨道模型 | 1913 年 | 1. 电子只能在特定的量子化轨道上绕核旋转。 2. 电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时，会吸收或释放能量，解释了氢原子的光谱。 |
玻尔结合了普朗克量子理论和拉塞福行星模型，提出电子能量是量子化的。该模型成功解释了氢原子的光谱，但无法解释多电子原子的复杂光谱。 |
| 5 | 索末菲椭圆轨道模型 | 1916 年 | 1. 电子可以沿椭圆形轨道运动，而不仅限于圆形轨道。 2. 引入了相对论效应，解释了氢原子光谱的精细结构和能级分裂。 |
索末菲扩展了玻尔模型，提出电子可以沿椭圆轨道运动，并考虑了相对论效应。该模型改进了玻尔模型，进一步解释了氢原子的光谱精细结构。 |
| 6 | 现代量子力学电子云模型 | 20 世纪中期 | 1. 电子不再有固定轨道，而是以概率云的形式分布在原子核周围。 2. 电子的位置和动量无法同时精确测定（不确定性原理）。 3. 电子具有波粒二象性（物质波理论）。 |
基于薛定谔方程、海森堡不确定性原理和德布罗意波粒二象性理论。电子云模型用概率描述电子的分布，取代了经典的确定性轨道概念。 |
电子的 4 个量子数
电子的状态在原子内部可以通过 4 个量子数 来完全描述，它们分别是：主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数。这些量子数描述了电子的能量、轨道的形状、方向以及自旋方向。
- 主量子数：主量子数n由玻尔模型提出的，用来解释氢原子的离散能级。但在量子力学中，主量子数是通过求解薛定谔方程的径向部分得到的，它决定了电子的能量层次和平均径向距离。
- 角量子数：通过薛定谔方程引入，描述电子的轨道角动量和轨道形状。
- 磁量子数：通过求解薛定谔方程的角向部分得到，描述电子轨道角动量在特定方向上的投影。塞曼效应验证了磁量子数的存在。
- 自旋量子数：通过斯特恩-盖拉赫实验引入，描述电子的自旋角动量。
在求解氢原子的薛定谔方程时，波函数 ψ(r, θ, ϕ) 可以分离为角向部分（θ, ϕ）和径向部分（r）。通过对角向和径向部分分别进行求解，可以得到三个量子数：主量子数 n、角量子数 l 和 磁量子数 mₗ。
| 量子数名称 | 符号 | 意义 | 取值范围 |
|---|---|---|---|
| 主量子数 | n | 决定电子所在轨道的能量层级，即电子距离原子核的远近。 | n = 1, 2, 3, … （正整数，越大表示能量越高，离核越远） |
| 角量子数 | l | 决定电子轨道的形状（对应不同的轨道种类：s, p, d, f）。 | l = 0, 1, 2, …, (n-1) （与主量子数相关，l = 0 表示 s 轨道，l = 1 表示 p 轨道等） |
| 磁量子数 | mₗ | 决定电子轨道在空间中的取向，即轨道在外部磁场中的方向。 | mₗ = -l, -(l-1), …, 0, …, (l-1), l （从 -l 到 l 的整数） |
| 自旋量子数 | mₛ | 描述电子的自旋方向，即电子自旋的角动量方向。 | mₛ = +½, -½ （只有两个可能的取值：上自旋或下自旋） |
主量子数 n
引入背景：
- 1913年，尼尔斯·玻尔（Niels Bohr） 提出了 玻尔模型，首次引入了主量子数 n，用来解释氢原子的离散能级。他假设电子只能在某些特定的轨道上绕核运动，轨道对应于不同的能量层。
- 玻尔模型成功解释了氢原子光谱的 巴耳末系，但无法解释更复杂的原子。
- 随后，薛定谔方程（Schrödinger Equation） 的求解为主量子数提供了更深刻的量子力学基础，确认电子在原子中的能级是离散的，并且与 n 相关。
实验验证：
- 氢原子的光谱线（如巴耳末系）实验直接验证了主量子数的存在，每个光谱线对应电子从一个能量层跃迁到另一个层。
角量子数 l
引入背景：
- 玻尔模型虽能解释氢原子光谱，但无法解释光谱中的 精细结构（同一条光谱线的微小分裂）。
- 为了解释这种精细结构，薛定谔通过解决氢原子的波动方程（薛定谔方程），引入了角量子数 l 来描述轨道的角动量。
- 角量子数 l 决定了电子轨道的形状和角动量的大小。它是通过量子力学中的轨道角动量算符的特征值引入的。
实验验证：
- 通过精细光谱（如氢原子光谱的精细分裂），科学家观察到不同的轨道形状和角动量，这为角量子数的引入提供了实验支持。
- 电子的轨道运动 并不仅仅是简单的绕核旋转，而是受到量子力学约束的复杂运动，具有不同的形状和角动量。
磁量子数 mₗ
引入背景：
- 1896年，彼得·塞曼（Pieter Zeeman） 发现，当原子处于外部磁场中时，其光谱线会发生分裂，这一效应被称为 塞曼效应（Zeeman Effect）。
- 塞曼效应表明，电子的轨道角动量在外部磁场中有不同的取向，这导致光谱线分裂为多个不同的成分。
- 为解释这种现象，量子力学引入了磁量子数 mₗ，它描述了轨道角动量在磁场中的投影。
实验验证：
- 塞曼效应的实验直接验证了磁量子数的存在。不同的 mₗ 值对应于轨道在磁场中不同的取向，导致光谱线的分裂。
自旋量子数 mₛ
引入背景：
- 1922年，斯特恩-盖拉赫实验（Stern-Gerlach Experiment） 发现，当银原子束通过非均匀磁场时，束流分裂为两束。这一现象无法通过当时的轨道角动量理论解释。
- 为解释这一现象，1925年，乔治·乌伦贝克（George Uhlenbeck） 和 塞缪尔·古德斯密特（Samuel Goudsmit） 提出了电子具有一种新的内禀属性，称为 自旋（Spin），并且自旋只有两个可能的取向。
- 自旋量子数 mₛ 是电子固有的量子属性，与电子的轨道无关。
实验验证：
- 斯特恩-盖拉赫实验直接证明了自旋的存在，表明电子在磁场中的行为不仅与轨道角动量有关，还与自旋角动量有关。
- 电子的自旋与 泡利不相容原理 结合，解释了多电子原子的电子排布规律。
电子的自旋是通过量子数来描述的。尽管自旋的大小固定为 ℏ/2，它在某个特定方向（比如 z 轴）上的投影却只能取离散的值 ±ℏ/2（即正方向和反方向）。【在经典物理中，角动量分量可以连续变化，但在量子力学中，自旋的投影只能取离散的值。】
电子其他属性
在粒子物理的 标准模型（Standard Model） 中，电子属于 轻子家族（lepton family），是第一代轻子（first-generation lepton），同时也是 费米子（fermion）。电子参与 电磁相互作用（electromagnetic interaction） 和 弱相互作用（weak interaction），但不参与 强相互作用（strong interaction）。
| 属性 | 证实方法 | 实验描述 |
|---|---|---|
| 电荷（Charge） | 密立根油滴实验（Millikan Oil Drop Experiment, 1909） | 测量油滴在电场中的平衡，确定了单个电子的电荷量。 |
| 质量（Mass） | J.J. 汤姆森阴极射线实验（Cathode Ray Experiment, 1897） | 通过阴极射线的偏转计算电子的电荷质量比，结合密立根实验得出电子的质量。 |
| 自旋（Spin） | 斯特恩-盖拉赫实验（Stern-Gerlach Experiment, 1922） | 银原子通过不均匀磁场分为两束，证明了电子的自旋量子数为 1/2。 |
| 电磁相互作用（EM Interaction） | 洛伦兹力定律的验证（Lorentz Force Law Verification） | 电子在电场和磁场中受到洛伦兹力，偏转路径证实电磁相互作用。 |
| 弱相互作用（Weak Interaction） | β 衰变实验（Beta Decay Experiments） | 中子衰变为质子并释放电子，证明电子参与弱相互作用。 |
| 不参与强相互作用（No Strong Interaction） | 粒子对撞实验（Particle Collider Experiments） | 高能物理实验中，电子不参与强相互作用，只感应电磁和弱相互作用。 |
| 波粒二象性（Wave-Particle Duality） | 电子双缝实验（Electron Double-Slit Experiment, 1927） | 电子通过双缝产生干涉图样，表明电子具有波粒二象性。 |
| 磁矩（Magnetic Moment） | 磁共振实验（Magnetic Resonance Experiments） | 通过电子自旋共振（ESR）和核磁共振（NMR）测量电子的磁矩。 |
| 稳定性（Stability） | 实验观测（Experimental Observation） | 电子在自然界中极为稳定，实验没有观测到电子自发衰变。 |
| 反粒子（Antiparticle） | 正电子的发现（Positron Discovery, 1932） | 卡尔·安德森在宇宙射线中发现了正电子，这是一种带正电的反粒子。 |
| 能级跃迁（Energy Level Transitions） | 原子光谱实验（Atomic Spectroscopy） | 电子在不同能级之间跃迁，吸收或发射特定频率的光，形成离散的光谱线。 |
| 参与化学键（Chemical Bonding） | X射线衍射与量子化学实验（X-ray Diffraction and Quantum Chemistry） | 通过 X 射线衍射实验和分子轨道理论，证明电子的排列决定了化学键的形成。 |
| 参与电流（Electrical Current） | 欧姆定律与电路实验（Ohm's Law and Circuit Experiments） | 自由电子在导体中流动形成电流，符合欧姆定律 V=IR。 |
| 参与热传导（Thermal Conductivity） | 金属热导率实验（Thermal Conductivity of Metals） | 通过测量金属的热导率，发现电子在传递热量中起主要作用，符合 Wiedemann-Franz 定律。 |
电子半径
电子半径问题是现代理论物理学中一个具有挑战性的问题。假设电子具有有限半径与相对论理论的前提不兼容。另一方面，一个点状电子（零半径）会引发严重的数学困难，因为电子的自能趋于无穷大。
经典电动力学计算出的经典电子半径约为 2.8179×10⁻¹⁵ 米，但这是基于简化模型，并不反映电子的真实结构。经典半径是通过假设电子的静止能量完全由其电场能量贡献得出的。然而，当前的高能物理实验给出的电子半径上限为小于 10⁻²² 米，这表明电子在实验中表现得像一个点粒子，没有可观测的空间扩展。
假设电子有有限半径与狭义相对论不兼容，因为相对论要求粒子的质量和电荷在任何速度下保持不变。如果电子有有限的半径，随着速度增加，电子的形状和电荷分布可能会发生变化，这与实验观测结果不符。
在量子力学中，电子通常被视为点粒子，即没有空间扩展，半径为零。但这种假设会引发数学上的困难，例如在经典电动力学框架下，电子的电场能量会趋于无穷大（即所谓的自能问题）。这一点在量子电动力学（QED）中通过重整化（Renormalization）方法得到了解决？？
原子核外电子壳层结构
电子的壳层结构是用来描述电子在原子中如何分布的模型。根据量子力学，电子并不是像行星围绕太阳那样沿着确定的轨道绕原子核运动，而是以一定的概率分布在分层的能级上。这些分层的能级就是我们所说的壳层。
电子围绕原子核的排列遵循以下规则：
- 主量子数 n 决定了电子的能级或壳层。主电子层从内向外分别是：K,L,M,N,O,P以及Q，或记作1,2,3,4,5,6以及7。
- 每个壳层 包含不同的亚层，由 角量子数 l 决定，分别对应 s、p、d、f 等。
- 每个亚层 包含不同数量的轨道，且每个轨道中最多容纳 2 个电子。
- 电子的排列 遵循 能量最低原则 和 泡利不相容原理，这决定了电子如何填充各个壳层和亚层。
主量子数 与 KLM
在玻尔提出他的模型后，查尔斯·巴克拉（Charles Barkla）通过 X 射线吸收实验，进一步印证了电子层的存在。他发现不同元素对 X 射线的吸收和发射具有不同的特性，并且这种行为可以归因于电子的壳层分布。
巴克拉将这些壳层称为 K 层、L 层 和 M 层，按照字母顺序排列。这些壳层名称后来与主量子数 n 值对应，并用于描述电子的能级。
这些字母没有特定的物理含义，巴克拉只是从字母表的中间（K）开始命名，以避免与其他已有标记混淆。
需注意的是，巴克拉的实验独立于玻尔模型，但为电子层的存在提供了实验支持。巴克拉的研究表明，电子确实分布在不同的壳层中，并且壳层的排列与 X 射线的吸收和发射特性紧密相关。
角量子数 与 spdf
s、p、d、f 这些字母实际上来源于历史上光谱学的研究。在研究原子的光谱时，科学家们观察到不同的原子会发射或吸收不同的光线，这些光线在光谱仪上表现为一系列的光谱线。根据光谱线的特点，早期的光谱学家给这些线分成了几类，并且用字母来表示。具体来说：
- s：sharp（尖锐的），最早用于描述光谱中较为清晰、锐利的光谱线。
- p：principal（主线的），用于表示光谱中的主线。
- d：diffuse（弥散的），用于描述那些较为宽广、模糊的光谱线。
- f：fundamental（基本的），用于表示更复杂的光谱线。
这些字母后来被沿用下来，用来标记电子的不同 亚层（轨道种类），并与 角量子数 l 相关联。
每个亚层包含不同数量的轨道，轨道的数量由磁量子数 mₗ 决定，每个轨道最多容纳 2 个电子。
| 角量子数 l | 亚层（轨道种类） | 轨道数 | 轨道形状 |
|---|---|---|---|
| 0 | s | 1 | 球形 |
| 1 | p | 3 | 哑铃形 |
| 2 | d | 5 | 四叶草形（例外：dz² 形状像甜甜圈） |
| 3 | f | 7 | 复杂形状 |
| 4 | g | 9 | 更复杂形状 |
| 5 | h | 11 | 极其复杂形状 |
由量子数n、l确定的亚层通常这样表示：把n的数值写在前面，并排写出代表l值的字母，如1s、2s、2p、3s、3p、...等。
电子填充规则
由于泡利不相容原理，每个轨道中最多只能容纳两个自旋相反的电子。因此，每个轨道最多容纳 2 个电子。
结合前面的轨道数量，每个亚壳层能够容纳的电子数量如下：
- s ：1 个轨道，最多容纳 2 个电子。
- p ：3 个轨道，最多容纳 6 个电子。
- d ：5 个轨道，最多容纳 10 个电子。
- f ：7 个轨道，最多容纳 14 个电子。
电子在原子中的填充顺序遵循能量最低原则，即电子优先填充到能量最低的轨道。能量较低的壳层和亚壳层会先被电子填充，然后才是能量较高的壳层。
电子填充的顺序可以用奥夫鲍原则（Aufbau Principle）来描述，它遵循以下顺序：
1 | |
注意，虽然 3d 轨道属于第三壳层，但它的能量比 4s 高，因此 4s 轨道会先填满，之后才是 3d 轨道
元素周期表
电子填充规则决定了元素周期表的结构。元素周期表的每个周期对应主量子数 n，而每个族的元素具有相似的最外层电子排布，因此化学性质相似。
元素周期表的周期（Period）代表元素的主量子数 n，即最外层电子所在的壳层。例如：
- 第 1 周期的元素（氢和氦）对应 n=1，即电子填充在 1s 轨道。
- 第 2 周期的元素（锂到氖）对应 n=2，即电子填充在 2s 和 2p 轨道。
- 第 3 周期的元素（钠到氩）对应 n=3，即电子填充在 3s 和 3p 轨道。
- ...
元素周期表的族（Group）与元素的外层电子数密切相关。相同族的元素具有相似的化学性质，因为它们的最外层电子数（价电子数）相同。
- 第 1 族（碱金属）：这些元素的电子排布都以 ns¹ 结尾，最外层有 1 个电子。它们都非常活泼，容易失去这个电子形成 +1 价离子。
- 第 2 族（碱土金属）：这些元素的电子排布都以 ns² 结尾，最外层有 2 个电子。它们容易失去这两个电子形成 +2 价离子。
- ...
- 第 17 族（卤素）：这些元素的电子排布都以 ns²np⁵ 结尾，最外层有 7 个电子。它们非常活泼，容易得到 1 个电子形成 −1 价离子。
- 第 18 族（稀有气体）：这些元素的电子排布都以 ns²np⁶ 结尾（氦是 1s²），它们的最外层电子已满，因此化学性质非常稳定，不容易发生化学反应。
固体中电子-能带（Energy Band）
在孤立原子中，电子占据离散的能级，例如 1s、2s、2p 等。但是，当许多原子靠近并形成晶体时，原子轨道之间会发生相互重叠和相互作用，导致原子能级分裂为一系列非常密集的能级。由于这些能级非常接近，因此可以认为它们形成了连续的能带。
能带理论是描述固体中电子行为的核心理论。它解释了导体、绝缘体和半导体的导电机制。能带理论的发展经历了多个重要阶段
能带历史？
早期的经典模型：德鲁德模型（Drude Model） 和洛伦兹模型（Lorentz Model） (1900 年代)
最早的金属导电模型是由 保罗·德鲁德（Paul Drude） 和 亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz） 提出的 自由电子模型（Free Electron Model）。
- 德鲁德模型（1900 年）：将金属中的电子看作自由运动的粒子，类似于理想气体中的分子。这些电子被认为能够在金属中自由移动，只有在遇到离子核时才会发生碰撞。
- 洛伦兹的贡献：将德鲁德模型扩展到了经典电磁学框架内，并通过此模型解释了金属中的电导率和热导率关系。
然而，这些经典模型无法解释某些现象，如电子的热容量与实验结果的差异，以及电导率对温度的依赖性。这些问题为后来的量子理论提出了挑战。
量子力学的引入：索末菲模型（Sommerfeld Model） (1928 年)
随着量子力学的发展，阿诺·索末菲（Arnold Sommerfeld） 在 1928 年提出了 量子自由电子模型，对德鲁德模型进行了量子化修正，形成了 索末菲模型。
- 量子自由电子模型：引入了 费米-狄拉克统计（Fermi-Dirac Statistics），从量子力学角度解释了金属中电子的分布。
- 费米能级（Fermi Level） 的概念被引入，指出电子在金属中遵循费米-狄拉克分布，并且只有接近费米能级的电子能够参与导电。
尽管索末菲模型改进了对金属导电性的解释，但仍然没有解释为何某些材料是 绝缘体（Insulators） 或 半导体（Semiconductors），而另一些是 导体（Conductors）。
布洛赫定理和能带理论的基础：费利克斯·布洛赫（Felix Bloch） (1928 年)
费利克斯·布洛赫（Felix Bloch） 在 1928 年提出了布洛赫定理（Bloch's Theorem），为能带理论奠定了基础。
- 布洛赫定理指出，在 周期性晶格（Periodic Lattice） 中，电子的波函数可以表示为周期性函数的乘积。这意味着电子的运动会受到晶格周期性势场的调制。
- 由于晶体中势场的周期性，电子不再具有连续的能量，而是形成了离散的 能带（Energy Bands），其中电子能量只能处于某些允许的能量范围内。
布洛赫定理首次解释了电子在晶体中的量子行为，并且指出在晶体中电子的能量状态会形成 允许带（Allowed Bands） 和 禁带（Forbidden Bands，或 Band Gaps）。
A.H. 威尔逊（Alan Herries Wilson） 在 1931 年进一步发展了能带理论，特别是对 半导体（Semiconductors） 和 绝缘体（Insulators） 的导电机制进行了详细的量子力学描述。
- 威尔逊通过能带结构解释了不同材料的导电性差异。他指出，材料的导电性取决于 费米能级（Fermi Level） 和 导带（Conduction Band） 与 价带（Valence Band） 之间的 禁带宽度（Band Gap Width）。
- 导体（Conductors）：价带和导带重叠，电子可以自由地进入导带并参与导电。
- 绝缘体（Insulators）：导带和价带之间的禁带很宽，电子无法轻易跃迁到导带，因此无法导电。
- 半导体（Semiconductors）：导带和价带之间的禁带较窄，电子可以通过温度或光的激发跃迁到导带，因此具有一定的导电性。
威尔逊的贡献为半导体材料的理解提供了理论基础，并为半导体器件的发明奠定了框架。
半导体物理的发展：晶体管与信息技术革命（1940-1950 年代）
半导体物理学 的发展在 20 世纪 40 年代和 50 年代进一步推动了能带理论的应用。
- 晶体管（Transistor） 的发明依赖于对半导体能带结构的理解，这标志着固态电子学的兴起，进而引发了 信息技术革命。
- 半导体材料的导电性可以通过 掺杂（Doping） 控制，形成 n 型半导体（n-type Semiconductors） 和 p 型半导体（p-type Semiconductors），这进一步推动了半导体器件的发展。
其他：密度泛函理论（DFT） 和拓扑绝缘体（Topological Insulators）
随着计算能力的提高，科学家们能够通过数值方法精确计算材料的能带结构。现代能带理论的进一步发展包括：
- 密度泛函理论（Density Functional Theory, DFT）：自 1960 年代以来，DFT 成为计算固体材料电子结构的重要工具，广泛应用于能带结构的计算和预测。
- 拓扑绝缘体（Topological Insulators）：近年来，科学家发现了拓扑绝缘体这种特殊的材料，它们在体内是绝缘体，但在表面上具有导电性。这为能带理论带来了新的研究方向。
重要近似
理论上，薛定谔方程精确描述了一个系统的运动状态。只要对其求解，就能得到任何想要的可观测量。但对含有N个原子的晶体而言，求解不现实。为此，需要对晶体中的电子状态做了重要的近似，使其变得简洁可解。
Born-Oppenheimer 绝热近似
假设离子实是静止不动的，因为原子核质量大、运动速度（振动幅度）慢，电子的运动可以在固定的离子势场中处理。
单电子近似
将多电子系统简化为单电子系统，假设每个电子独立地在由离子实和其他电子产生的平均势场中运动。
通过平均场理论（如 Hartree-Fock 近似或局域密度近似），电子间的相互作用被平均化处理，而不是完全忽略。
周期场近似
假设晶体中的原子按照周期性排列，形成周期性势场。电子的运动问题简化为“单电子在周期势场中的运动”。
费米能级（Fermi Level）
费米能级 是固体物理中的重要概念，表示在 绝对零度（0 K） 时，材料中电子的最高能量状态。
费米-狄拉克分布（Fermi-Dirac Distribution）
费米-狄拉克分布描述了任意温度下电子占据能级的概率：
- 是费米能级， 是能级 被占据的概率。
在 0 K 时，能量低于 的能级被完全占据，高于 的能级为空。
费米能级是 0 K 时，电子填满的最高能级。对于不同材料，费米能级的位置决定了其导电性能。
费米能级在不同材料中的位置
- 导体（Conductor）：费米能级位于导带中，电子可以自由移动，材料导电性强。
- 半导体（Semiconductor）：费米能级位于 禁带（Band Gap） 中，通过热激发或掺杂，电子可以跃迁到导带。
- 绝缘体（Insulator）：费米能级位于宽禁带中，电子很难跃迁，材料不导电。
在半导体器件中，通过掺杂调节费米能级，可以改变半导体器件的特性。费米能级决定了电子是否能跃迁到导带并参与导电。
参考
- https://en.wikipedia.org/wiki/Electron_shell
- https://en.wikipedia.org/wiki/Electron_configuration
- https://en.wikipedia.org/wiki/Atom
- https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_atomic_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure
- https://en.wikipedia.org/wiki/Electron
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/511274994