1+1=10

记记笔记，放松一下...

真空磁导率与真空介电常数小记

似乎很杂、很乱。简单捋一捋

真空介电常数是从静电力常量中推导出来的，而静电力常量最早通过库伦扭秤测量的。真空磁导率是人为规定的（为了在SI单位制中引入安培）。这两个量在麦克斯韦方程中有和光速直接联系上（尽管麦克斯韦当时用的不是SI单位制，原始方程中也没有这两个常数）。

简单看看

真空磁导率vacuum magnetic permeability（也称为真空导率、自由空间导率、真空的导率、磁常数）是一个物理常数，通常用 μ₀ 表示。

  • 2019年之后：μ₀ 是一个试验测定的常数 μ₀ = 4π × 0.99999999987(16)×10⁻⁷ H/m
  • 2019年之前：μ₀ 拥有一个定义值 μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m

真空介电常数vacuum permittivity，通常表示为ε₀，是经典真空的绝对介电常数值。它也可以称为自由空间的介电常数、电常数或真空的分布电容。它的数值由 μ₀ 和 真空中的光速确定

ϵ0=1μ0c2 \epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0c^2}

在新的 SI 单位制中，普朗克常数 ℎ、光速 c 和 基本电荷 e 都是定义值，因此可以通过精细结构常数（Fine structure constant） α 来推导出 μ₀ 和 ε₀：

α=2ε0hce2=2hμ0e2c \alpha = \frac{2 \varepsilon_0 h c}{e^2} = \frac{2 h}{\mu_0 e^2 c}

背景

在19世纪末至20世纪中期，物理学家们主要使用的是CGS单位制（厘米-克-秒制）。在 CGS 单位制中，电磁学的方程并没有引入像 μ₀ 这样的常数。取而代之的是，物理学家通过直接的实验关系来定义电磁量。比如在 CGS 单位制下，磁感应强度 𝐵 和磁场强度 𝐻 的单位是相同的（高斯单位），这种情况下 𝐵 和 𝐻 在真空中的关系相对简单：它们数值上是相等的。

CGS 下的定律

在 CGS 单位制中，电磁学有两个主要的子系统：

  • 静电单位制（ESU）：用于描述静电现象。
  • 电磁单位制（EMU）：用于描述电流和磁场的相互作用。

statampere 和 abampere 是在这两个不同子系统中分别定义的电流单位：

  • statampere（esu/s）：基于电荷流动的静电学定义，量纲是电荷（esu）除以时间（秒）。
  • abampere（abA）：基于安培力定律，通过电流产生的磁场和磁力效应定义，量纲是力（dyne）和长度（cm）的平方根。

安培力定律

在 CGS 单位制中，安培力定律的表达式不包含 μ₀ 这样的常数，因为该单位制下的电流单位与力的单位直接相关。

Fm=2I1I2r F_m = 2\frac{I_1 I_2}{r}

其中 FmF_m 的单位用 dyne 表示，r 单位用 cm 表示，可以直接推导出电荷单位 abampere=(cm⋅dyne)1/2\text{abampere} = (\text{cm}\cdot\text{dyne})^{1/2}

在CGS电磁单位制（emu, electromagnetic units）下，电流的单位是电磁单位电流，通常称为 abampere 或 biot，符号为 abA。1 abampere 是指在 CGS 单位制下，产生 1 达因每厘米的磁力的电流。具体来说，两个相距 1 厘米的平行导线中，若各流过 1 abampere 的电流，则它们之间的磁力为 2 达因。1 abampere 的大小相当于 10 安培（1 abA = 10 A）。

库伦定律

在 CGS 单位制中，库仑定律的表达式不包含 ε₀ 这样的常数，因为该单位制下的电荷单位与力的单位直接相关。

F=q1q2r2 F = \frac{q_1 q_2}{r^2}

在库伦定律中，F 的单位用 dyne 表示，r 单位用 cm 表示，可以直接推导出电荷单位 esu=cm⋅dyne1/2\text{esu} = \text{cm}\cdot\text{dyne}^{1/2}

在静电单位制（esu, electrostatic units）下，电流的单位被定义为每秒通过的电荷量。电流单位是静电单位电流，记作 esu/s 或 statampere。1 esu/s 是指每秒钟通过一个 esu 的电荷量（静电单位电荷）。由于 1 esu = 3.33564 × 10⁻¹⁰ 库仑，因此 1 esu/s 大约等于 3.33564 × 10⁻¹⁰ 安培。

SI 单位制

statampere 和 abampere 在 CGS 单位制下的量纲不一致，是促使 SI 单位制引入统一的安培（A）作为电流基本单位的原因??

当物理学家们转向国际单位制（SI制）时，电场和磁场的单位不再直接兼容。1948年之后，为了统一电磁学中的单位，并使得电流、电场、磁场和力之间的关系更加明确，因此引入了物理常数 μ₀ 和 ε₀ 来转换这些量度：

  • μ₀：真空磁导率，用来描述磁场和电流之间的比例关系。
  • ε₀：真空介电常数，用来描述电场和电荷之间的比例关系。

真空磁导率

“磁常数”这一名称也曾被标准组织短暂使用，目的是避免使用具有物理意义的术语“导率”和“真空”。因为 μ₀ 在2019年之前是一个定义的值，而不是实验测量的结果。

安培力定律

在 SI 单位制中，电磁学中引入了物理常数 μ₀ 来连接电流、磁场和力的关系。尽管在 CGS 单位制中，这些关系通过实验定义的单位直接反映出来，因此不需要额外的常数。

Fm=μ02πI1I2r F_m = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{r}

从 1948 年到 2019 年，安培被定义为“如果在真空中保持两个无限长、具有可忽略圆截面的平行导线之间的恒定电流，并使它们相距 1 米，则这些导线之间每米长度的力为 2×10⁻⁷ 牛顿”。这相当于定义 μ₀ 为精确的 4π×10⁻⁷ H/m

安培力定律 可以根据比奥-萨法尔定律和洛伦兹力定律导出，不过洛伦兹力定律则是在电磁学发展较为成熟之后，由洛伦兹在19世纪末提出的。

  • 比奥-萨法尔定律 —— 1820年
  • 安培力定律 —— 1820年
  • 洛伦兹力定律 —— 1895年

磁场强度、磁感应强度

μ₀ 的引入给人的感觉似乎是为了解决H和B的关系。但是它们关系和相对磁导率关系更大。

  • 磁感应强度B：描述了磁场的实际效应，直接影响带电粒子的运动，通过洛伦兹力定律与它们的相互作用。
  • 磁场强度H：主要描述了外部电流产生的磁场，在材料中的表现还需要考虑材料的磁化效应。

历史？

  • 早期磁学与电学独立发展 - 磁现象和电现象分别独立研究，尚未发现两者的联系。
  • 奥斯特的发现（1820年） - 奥斯特发现电流能够产生磁场，揭示了电与磁的关系，但当时尚未明确区分 H 和 B。
  • 安培的贡献（1820年） - 安培通过实验揭示了电流与磁场的定量关系，提出安培定律，为后来的 H 的定义奠定了理论基础。
  • 法拉第的贡献（1831年） - 法拉第发现电磁感应现象，提出磁力线概念，这为 B 作为磁通密度的概念奠定了基础。
  • 麦克斯韦的统一理论（1873年） - 麦克斯韦通过方程组统一了电场和磁场的描述，并首次明确区分了磁场强度 H 和磁感应强度 B，其中 H 描述了外部电流产生的磁场，而 B 则包括了材料的磁化效应。
  • 现代电磁学 - H 和 B 成为电磁学的基础概念，广泛应用于理论和技术领域，H 反映磁场的源头，而 B 则反映磁场的实际效应。

相对磁导率

与电介质对电场的作用相比，磁性物质对磁场的作用更有趣一些：许多磁性材料中的磁场对所施加的磁场更强。

在19世纪早期，尤其是安培和法拉第等人的实验中，科学家们已经开始认识到不同材料对磁场的响应不同，因此相对磁导率（relative permeability）的概念逐渐被提出，用来描述材料相对于真空的磁化能力。

相对磁导率 的概念比 真空磁导率的历史更为悠久。

性质 顺磁性（Paramagnetism） 抗磁性（Diamagnetism） 铁磁性（Ferromagnetism）
相对磁导率 略大于 1，比如铝1.00002 略小于 1，比如金0.99997 远大于 1，比如纯铁5000
磁化方向 与外部磁场方向一致 与外部磁场方向相反 与外部磁场方向一致
磁性强度 弱磁性（轻微吸引） 极弱磁性（轻微排斥） 强磁性（强烈吸引，且可永久磁化）
外部磁场移除后 不保留磁性 不保留磁性 可能保留磁性（剩磁）
温度影响 随温度升高磁性减弱 温度对抗磁性影响不大 高于居里温度时失去磁性，转变为顺磁性
典型材料 铝、铂、氧气 金、银、铜 铁、钴、镍、钕铁硼

真空介电常数

世界第一次接触到真空介电常数并不是通过库仑定律，而是通过电容器的工作原理，它是电量Q与电压U的比例系数。

  • 库伦定律的系数，为什么包含 4π4\pi 因子？
  • 真空电容率？

库伦定律

在 CGS 单位制中，库仑定律的表达式不包含 ε₀ 这样的常数，因为该单位制下的电荷单位与力的单位直接相关。

库伦定律指出 F 与 距离 r 平方成反比。

F∝q1q2r2 F \propto \frac{q_1 q_2}{r^2}

库仑定律在1835年衍生出了高斯定律（Gauss' Law），它表明单个带电粒子产生的静电力并不只朝向第二个电荷，它以球对称的方式向所有方向扩散。

这种扩散随着距离的增加应该逐渐变得稀薄，这种变化遵循平方反比定律，其前沿是一个球面。球面的面积为 4πr24\pi r^2 ，其中 r 是半径。自学成才的天才奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside）提出，更合理的方式是将库仑定律表示为：

F∝q1q24πr2 F \propto \frac{q_1 q_2}{4\pi r^2}

这样一来，ϵ0\epsilon_0 和 4π4\pi 就不那么突兀了。

F=1ϵ0q1q24πr2 F = \frac{1}{\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{4\pi r^2}

真空电容率

当亚历山德罗·伏特（Alessandro Volta）在1798年发明电池时，他观察到，如果我们在电容器的平行板之间施加电压 U，那么一定量的负电荷将从正极板移动到负极板。一块板带上正电，另一块带上负电，板之间产生了电场。他将电池将相反电荷强行拉开的能力称为“电动势”（Electromotive Force，EMF）。

迈克尔·法拉第（Michael Faraday）对电容器的行为进行了深入研究，发现板之间传递的电荷量取决于板之间介质的性质，这个介质甚至可以是真空。通过测量不同的电压 U，而不改变板的尺寸和间距，法拉第发现传递的电荷量正比于电压，即

Q∝U Q \propto U

在 SI 单位制下，真空下电容公式：

C=QU=ϵ0Sd C = \frac {Q} {U} = \frac {\epsilon_0 S}{d}

如果考虑一个形状为“单位立方体”的电容器，其两个正方形板的面积均为1平方米，板之间的距离为1米的真空，那么C数值上等于ϵ0\epsilon_0。

参考

  • https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_permeability
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_permittivity
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Fine-structure_constant
  • https://www.quora.com/What-does-the-permittivity-of-a-vacuum-mean

Posted by Debao Zhang Science