在学校学的电磁场相关的内容，工作中用不到，基本忘完了。看看入门书，整理一下。从麦克斯韦方程（Maxwell's equations)开始吧，顺便再熟悉一下LaTeX/Katex写法...
启用 markdown-katex 来处理公式后，用getpelican生成blog时奇慢无比！！原因待查
麦克斯韦方程是英国科学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell）根据法拉第（Michael Faraday）等人关于电磁现象的试验定律创建的电子学的基本定律，反映了宏观电磁现象的普遍规律。
麦克斯韦方程
在1861到1862年间，麦克斯韦陆续发表了名为《论电磁场的物理力线》 (On Physical Lines of Force)的四篇论文（part1到part4）。由于当时向量分析上不成熟，麦克斯韦的方程是以电场和磁场在 x y z x y z x yz
1865年，麦克斯韦发表的著名论文《电磁场的动力学理论》（A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field）中，他使用分量形式，共有包含20个未知数的20个标量方程，分别描述了电场和磁场的各个分量之间的关系。其中18个方程按分量可以6组，共给出了A、B、C、D、E、F、G、H八组方程。
19世纪后期，奥利弗·海维赛（Oliver Heaviside）和乔西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）发展了矢量分析，并将麦克斯韦的方程简化为我们今天所熟悉的4个矢量形式的方程组。
高斯电场定律（Gauss‘s Law for Electricity）：电场的散度与电荷密度成正比
高斯磁场定律（Gauss's Law for Magnetism）：没有磁单极子，磁场线总是闭合的
法拉第定律（Faraday's Law of Induction）：变化的磁场产生电场
安培-麦克斯韦定律（Ampère's Law with Maxwell's Correction）：变化的电场和电流产生磁场
方程
麦克斯韦方程有许多表现形式，不同书中给出的记法可能不同。我们考虑一种记法：
积分形式
∮ S E ⋅ d S = q enc ϵ 0 ∮ S B ⋅ d S = 0 ∮ C E ⋅ d l = − d d t ∫ S B ⋅ d S ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I enc + μ 0 ϵ 0 d d t ∫ S E ⋅ d S
\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}
\\
\oint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0
\\
\oint_{C} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}
\\
\oint_{C} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}
∮ S E ⋅ d S = ϵ 0 q enc ∮ S B ⋅ d S = 0 ∮ C E ⋅ d l = − d t d ∫ S B ⋅ d S ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I enc + μ 0 ϵ 0 d t d ∫ S E ⋅ d S
微分形式
∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
\\
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\\
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\\
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
∇ ⋅ E = ϵ 0 ρ ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ t ∂ B ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ t ∂ E
逐一看看
高斯电场定律 - Gauss's Law for Electricity
积分形式处理的是电场在整个曲面的法线方向上的积分。微分形式处理的是空间中一点处电场散度。
积分形式
电荷产生电场，电场通过任意闭合曲面的通量与曲面包围的电荷总量成正比。
∮ S E ⋅ d S = q enc ϵ 0
\oint_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}
∮ S E ⋅ d S = ϵ 0 q enc
在一个闭合曲面 S S S E \mathbf{E} E q enc q_{\text{enc}} q enc ϵ 0 \epsilon_0 ϵ 0
微分形式
电荷产生的电场从正电荷散开，汇集到负电荷。
∇ ⋅ E = ρ ϵ 0
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
∇ ⋅ E = ϵ 0 ρ
电场的散度与电荷密度成正比。
散度不为零的地方有电荷，正电荷存在的地方散度为正（流出），负电荷存在的地方散度为负（流入）。
避免认为：场线发散的地方散度不为零。比如点电荷形成的电场，处处都是散开的。
高斯磁场定律 - Gauss's Law for Magnetism
积分形式关注场穿过闭合曲面的通量，微分形式关注场在某一点的散度。
正负电荷可以分离，但不存在磁单极子，影响高斯磁场定律与电场定律不同。
积分形式
穿过任意闭合曲面的总磁通量为0。
∮ S B ⋅ d S = 0
\oint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0
∮ S B ⋅ d S = 0
在一个闭合曲面 S S S B \mathbf{B} B
微分形式
磁场散度处处为零。
∇ ⋅ B = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
∇ ⋅ B = 0
法拉第电磁感应定律 - Faraday's Law of Induction
积分形式
穿过一个曲面的磁通量的变化会在该曲面的任意边界路径上感生出电动势，并且变化的磁场会感生出环绕的电场。
∮ C E ⋅ d l = − d d t ∫ S B ⋅ d S
\oint_{C} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}
∮ C E ⋅ d l = − d t d ∫ S B ⋅ d S
在一个闭合路径 C C C E \mathbf{E} E S S S B \mathbf{B} B
公式中的负号：感生电动势与磁通量的变化相反，其趋向于保持磁通量不变。楞次定律。
微分形式
随时间变化的磁场产生环绕的电场。
∇ × E = − ∂ B ∂ t
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
∇ × E = − ∂ t ∂ B
安培-麦克斯韦定律 - Ampère's Law with Maxwell's Correction
积分形式
穿过曲面的电流或变化的电通量会产生沿曲面边界的环绕磁场。
∮ C B ⋅ d l = μ 0 I enc + μ 0 ϵ 0 d d t ∫ S E ⋅ d S
\oint_{C} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}
∮ C B ⋅ d l = μ 0 I enc + μ 0 ϵ 0 d t d ∫ S E ⋅ d S
在一个闭合路径 C C C B \mathbf{B} B S S S I enc I_{\text{enc}} I enc E \mathbf{E} E
微分形式
电流和随时间变化的电场会产生环绕的磁场。
∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ t ∂ E
B \mathbf{B} B 避免认为：场弯曲的地方旋度就不为零。比如无限长导线上电流产生的磁场，处处都是弯曲的。
麦克斯韦修正
安培定律原始形式：
∇ × B = μ 0 J
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}
∇ × B = μ 0 J
这个方程说明，电流 J J J B B B
设想一个带电的电容器正在充电，电流流经导线进入电容器的极板。然而，在电容器内部（即两极板之间的区域），没有传导电流J = 0 J=0 J = 0
加入一个额外的项，即所谓的“位移电流”，它与电场的变化率有关。
修正的意义：
电荷守恒：麦克斯韦引入的位移电流项确保了电荷守恒定律的自洽性。没有这个项，电荷守恒定律在某些情况下会被破坏。
统一电磁场理论：麦克斯韦的修正使得电场和磁场之间的对称性更加明显。这表明，电场和磁场在本质上是相互关联的，变化的电场可以产生磁场，反之亦然。
预测电磁波的存在：麦克斯韦的修正直接导致了电磁波方程的出现，预测了光是电磁波的一种形式。
真空介电常数 与 真空磁导率
真空介电常数 ϵ 0 \epsilon_0 ϵ 0
真空磁导率 μ 0 \mu_0 μ 0
测量？
ϵ 0 \epsilon_0 ϵ 0 μ 0 \mu_0 μ 0 1 μ 0 ϵ 0 \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} μ 0 ϵ 0 1
历史上，ϵ 0 \epsilon_0 ϵ 0
F = 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r 2
F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}
F = 4 π ϵ 0 1 r 2 q 1 q 2
早期通过电学实验，测量电荷之间的力和距离，科学家能够较为准确地确定真空介电常数。
与真空介电常数不同，真空磁导率 μ 0 \mu_0 μ 0
1855年，威廉·爱德华·韦伯（Wilhelm Eduard Weber）和鲁道夫·科尔劳施（Rudolf Kohlrausch）比较了电磁单位制中的电量和静电单位制中的电量，发现它们的比值具有速度的量纲。他们测出来对应于 1 μ 0 ϵ 0 \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} μ 0 ϵ 0 1 3.107 × 1 0 8 m / s 3.107×10^8 m/s 3.107 × 1 0 8 m / s
现代
在现代国际单位制（SI）中，
μ 0 \mu_0 μ 0 定义为 4 π × 1 0 − 7 N/A 2 4\pi \times 10^{-7} \ \text{N/A}^2 4 π × 1 0 − 7 N/A 2 固定下来 ，ϵ 0 \epsilon_0 ϵ 0 c c c μ 0 \mu_0 μ 0 8.854187817 × 1 0 − 12 F / m 8.854187817×10^{−12} F/m 8.854187817 × 1 0 − 12 F / m
波动方程
波动方程是一种描述波动现象的偏微分方程，广泛应用于物理学中的声波、光波、电磁波等各种波动现象。
波动方程一般形式
在三维空间中，描述一个以速度 v v v A A A
∇ 2 A = 1 v 2 ∂ 2 A ∂ t 2
\nabla^2 \mathbf{A} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2}
∇ 2 A = v 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 A
左边 ：∇ 2 A \nabla^2 A ∇ 2 A 右边 ：1 v 2 ∂ 2 A ∂ t 2 \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 A}{\partial t^2} v 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 A
这个波动方程意味着波的扰动会以速度 v v v ，并且波的传播速度和空间中的变化率以及时间上的变化率密切相关。
波动方程的一维形式，可以写为
∂ 2 A ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 A ∂ t 2
\frac{\partial^2 A}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 A}{\partial t^2}
∂ x 2 ∂ 2 A = v 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 A
其中 A ( x , t ) A(x, t) A ( x , t ) v v v
电磁场波动方程
电磁波的波动方程可以从麦克斯韦方程组推导出来。在自由空间（即没有电荷和电流的区域）中，电场和磁场满足以下波动方程：
∇ 2 E − μ 0 ϵ 0 ∂ 2 E ∂ t 2 = 0
\nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0
∇ 2 E − μ 0 ϵ 0 ∂ t 2 ∂ 2 E = 0
∇ 2 B − μ 0 ϵ 0 ∂ 2 B ∂ t 2 = 0
\nabla^2 \mathbf{B} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0
∇ 2 B − μ 0 ϵ 0 ∂ t 2 ∂ 2 B = 0
由于当时试验已经测出 1 μ 0 ϵ 0 \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} μ 0 ϵ 0 1
E ( r , t ) \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) E ( r , t ) r \mathbf{r} r t t t B ( r , t ) \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) B ( r , t ) r \mathbf{r} r t t t μ 0 \mu_0 μ 0 ϵ 0 \epsilon_0 ϵ 0 c = 1 μ 0 ϵ 0 c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} c = μ 0 ϵ 0 1
电磁波验证
在1887年至1888年间，赫兹（Heinrich Hertz）通过一系列巧妙的实验成功地产生和探测到了电磁波。验证了麦克斯韦的理论，并证明了电磁波确实可以在空间中传播。
graph TD
subgraph 发射器
A1[高压电源]
A2[电火花间隙]
A3[振荡电路]
end
A1 --> A2
A2 --> A3
A3 -->|发射电磁波| B((电磁波))
B -->|电磁波传播| C[接收器]
subgraph 接收器
C1[金属环]
C2[火花间隙]
end
C1 --> C2
C2 -->|产生微小火花| D[观察火花]
style A1 fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
style A2 fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
style A3 fill:#9f9,stroke:#333,stroke-width:2px
style B fill:#9f9,stroke:#333,stroke-width:2px
style C1 fill:#f99,stroke:#333,stroke-width:2px
style C2 fill:#f99,stroke:#333,stroke-width:2px
style D fill:#99f,stroke:#333,stroke-width:2px
数学基础？？
前面19世纪后期，奥利弗·海维赛（Oliver Heaviside）和乔西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）发展了矢量分析，并将麦克斯韦的方程简化为我们今天所熟悉的4个矢量形式的方程组。
简单起见，各个公式只考虑笛卡尔坐标系，不列出圆柱坐标系和球坐标系。
散度、旋度、梯度
它们是矢量分析（矢量微积分）中的三个重要概念：
散度（Divergence） ：描述矢量场的“源”或“汇”的强度，表示矢量场从一点“发散”或“汇集”的程度。(矢量 -> 标量)旋度（Curl） ：描述矢量场的旋转趋势，表示矢量场在某点附近的旋转性质。（矢量 -> 矢量）梯度（Gradient） ：描述标量场在各个方向上的变化率和方向。（标量 -> 矢量）
散度（Divergence）
散度是描述一个矢量场（Vector Field ）在某一点的“源”或“汇”的强度。它是一个标量，表示矢量场在该点的发散程度。如果散度为正，这表明在这个点有“源”；散度为负，则表明有“汇”
对于一个矢量场 F ( x , y , z ) = ( F x , F y , F z ) \mathbf{F}(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z) F ( x , y , z ) = ( F x , F y , F z )
d i v F = ∇ ⋅ F = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z
\mathbf{div}\, \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
div F = ∇ ⋅ F = ∂ x ∂ F x + ∂ y ∂ F y + ∂ z ∂ F z
电场的散度与电荷密度直接相关（即高斯定律）。在流体力学中，流体的速度场的散度如果为零，意味着流体是不可压缩的（没有净流出或流入）。
旋度（Curl）
旋度描述一个矢量场在某一点的旋转程度或旋转趋势。它是一个矢量，表示矢量场的局部旋转。如果旋度为零，说明矢量场在该点没有旋转（例如静止或线性流动）；如果非零，说明有旋转或涡流。
对于一个矢量场 F ( x , y , z ) = ( F x , F y , F z ) \mathbf{F}(x, y, z) = (F_x, F_y, F_z) F ( x , y , z ) = ( F x , F y , F z )
c u r l F = ∇ × F = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z , ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x , ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y )
\mathbf{curl}\, \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)
curl F = ∇ × F = ( ∂ y ∂ F z − ∂ z ∂ F y , ∂ z ∂ F x − ∂ x ∂ F z , ∂ x ∂ F y − ∂ y ∂ F x )
磁场的旋度与电流密度及时间变化的电场有关（即安培-麦克斯韦定律）。在流体力学中，流体速度场的旋度为零表示流体没有旋转或涡流。
梯度（Gradient）
梯度是一个标量场（Scalar Field ）变化最快的方向和变化率。它将标量场转换为矢量场。它的方向是标量场增加最快的方向，大小则是变化的速率。
对于一个标量场 f ( x , y , z ) f(x, y, z) f ( x , y , z )
g r a d f = ∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z )
\mathbf{grad}\, f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)
grad f = ∇ f = ( ∂ x ∂ f , ∂ y ∂ f , ∂ z ∂ f )
在一个温度场中，温度梯度表示温度升高最快的方向。风通常从高压区吹向低压区，这个方向与气压梯度相反。
几个恒等式
梯度的旋度
对于任意标量场 ϕ \phi ϕ
∇ × ( ∇ ϕ ) = 0
\nabla \times (\nabla \phi) = \mathbf{0}
∇ × ( ∇ ϕ ) = 0
旋度的散度
对于任意向量场 F \mathbf{F} F
∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0
\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0
∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0
旋度的旋度
对于任意向量场 F \mathbf{F} F
∇ × ( ∇ × F ) = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ 2 F
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{F}) - \nabla^2 \mathbf{F}
∇ × ( ∇ × F ) = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ 2 F
其中，∇ 2 \nabla^2 ∇ 2
梯度的散度（拉普拉斯算子）
对于任意标量场 ϕ \phi ϕ
∇ ⋅ ( ∇ ϕ ) = ∇ 2 ϕ
\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla^2 \phi
∇ ⋅ ( ∇ ϕ ) = ∇ 2 ϕ
散度与面积分，旋度与线积分的关系
散度与面积分，以及旋度与线积分之间有着深刻的关系。
高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem） ：建立了向量场在一个体积内的散度（体积积分）与向量场通过该体积边界的通量（Flux ，面积分）之间的关系。。斯托克斯定理（Stokes' Theorem） ：建立了一个向量场在一个曲面边界上的循环（线积分）与该向量场在该曲面上旋度的总量（面积积分）之间的关系。
散度与面积分：高斯散度定理
数学表达：
设 F \mathbf{F} F V V V S S S V V V
∫ V ( ∇ ⋅ F ) d V = ∮ S F ⋅ d A
\int_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \oint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A}
∫ V ( ∇ ⋅ F ) d V = ∮ S F ⋅ d A
其中：
∇ ⋅ F \nabla \cdot \mathbf{F} ∇ ⋅ F F \mathbf{F} F d V dV d V d A d\mathbf{A} d A S S S ∮ S \oint_S ∮ S S S S
物理意义：
高斯散度定理表明，通过一个封闭曲面的矢量场的总通量等于该曲面包围的体积内的散度的积分。直观地说，散度描述了矢量场在某点“发散”或“汇集”的程度，而通过曲面的通量表示矢量场“穿过”该曲面的流量。
在电场中，高斯定理与高斯定律直接相关：电场的散度与电荷密度成正比，而电场通过一个封闭曲面的通量与封闭曲面内部的净电荷成正比。
旋度与线积分：斯托克斯定理
数学表达：
设 F \mathbf{F} F S S S ∂ S \partial S ∂ S
∮ ∂ S F ⋅ d r = ∫ S ( ∇ × F ) ⋅ d A
\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{A}
∮ ∂ S F ⋅ d r = ∫ S ( ∇ × F ) ⋅ d A
其中：
∇ × F \nabla \times \mathbf{F} ∇ × F F \mathbf{F} F d r d\mathbf{r} d r ∂ S \partial S ∂ S d A d\mathbf{A} d A S S S ∮ ∂ S \oint_{\partial S} ∮ ∂ S ∂ S \partial S ∂ S
物理意义：
斯托克斯定理表明，沿一个闭合曲线的矢量场的线积分等于该曲线所包围的曲面上旋度的面积分。旋度描述了矢量场在某点附近的旋转趋势，而线积分表示矢量场沿路径的累积作用。
在电磁学中，安培-麦克斯韦定律可以通过斯托克斯定理进行描述，表明磁场的环路积分与电流和电场的变化率相关。在流体力学中，斯托克斯定理与旋度直接相关，描述了流体的环流强度与流体速度场的旋度之间的关系。
洛伦兹变换下的麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组预言了光速在真空中是恒定的，而伽利略变换假设速度是可以简单相加的。因此需要用相对论中的洛伦兹变换来替代伽利略变换，才能正确描述电磁现象。
洛伦兹变换
空间和时间坐标变换
t ′ = γ ( t − v x c 2 ) x ′ = γ ( x − v t ) y ′ = y z ′ = z
t' = \gamma \left( t - \frac{v x}{c^2} \right)
\\
x' = \gamma (x - v t)
\\
y' = y
\\
z' = z
t ′ = γ ( t − c 2 vx ) x ′ = γ ( x − v t ) y ′ = y z ′ = z
其中：
γ = 1 1 − v 2 c 2 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} γ = 1 − c 2 v 2 1 v v v c c c t t t t ′ t' t ′ x x x x ′ x' x ′ y y y y ′ y' y ′ z z z z ′ z' z ′
速度变换
沿 x x x
u x ′ = u x − v 1 − u x v c 2
u_x' = \frac{u_x - v}{1 - \frac{u_x v}{c^2}}
u x ′ = 1 − c 2 u x v u x − v
沿 y y y z z z
u y ′ = u y γ ( 1 − u x v c 2 ) u z ′ = u z γ ( 1 − u x v c 2 )
u_y' = \frac{u_y}{\gamma \left( 1 - \frac{u_x v}{c^2} \right)}
\\
u_z' = \frac{u_z}{\gamma \left( 1 - \frac{u_x v}{c^2} \right)}
u y ′ = γ ( 1 − c 2 u x v ) u y u z ′ = γ ( 1 − c 2 u x v ) u z
电磁场张量
在狭义相对论中，电场和磁场并不是完全独立的。在不同的参考系中，电场和磁场会相互混合：一个参考系中的电场在另一个相对运动的参考系中可能会部分表现为磁场，反之亦然。为了在不同参考系中保持麦克斯韦方程组的形式不变，需要引入了电磁场张量。
电磁场张量 F μ ν F_{\mu\nu} F μν E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B
张量 F μ ν F_{\mu\nu} F μν
F μ ν = ( 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 B z − B y E y / c − B z 0 B x E z / c B y − B x 0 )
F_{\mu\nu} =
\begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
E_z/c & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix}
F μν = 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 − B z B y − E y / c B z 0 − B x − E z / c − B y B x 0
其中：
E x , E y , E z E_x, E_y, E_z E x , E y , E z E \mathbf{E} E B x , B y , B z B_x, B_y, B_z B x , B y , B z B \mathbf{B} B c c c
这个张量是反对称的，即 F μ ν = − F ν μ F_{\mu\nu} = -F_{\nu\mu} F μν = − F νμ
协变形式的麦克斯韦方程
方程一
∂ μ F μ ν = μ 0 J ν
\partial^\mu F_{\mu\nu} = \mu_0 J_\nu
∂ μ F μν = μ 0 J ν
其中：
∂ μ = ( ∂ ∂ t , ∇ ) \partial^\mu = \left( \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right) ∂ μ = ( ∂ t ∂ , ∇ ) J ν J_\nu J ν J ν = ( ρ c , J ) J^\nu = (\rho c, \mathbf{J}) J ν = ( ρ c , J ) μ 0 \mu_0 μ 0
这组方程包括：
高斯定律：电场的散度与电荷密度成正比。
安培-麦克斯韦定律：电场的旋度与变化的磁场和电流密度有关。
方程二
∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = 0
\partial_\lambda F_{\mu\nu} + \partial_\mu F_{\nu\lambda} + \partial_\nu F_{\lambda\mu} = 0
∂ λ F μν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = 0
这个方程是完全反对称的，并包含：
法拉第电磁感应定律：变化的磁场会产生电场。
磁场的高斯定律：磁场的散度为零，表示没有磁单极子。
参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations
https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_Maxwell%27s_equations
https://www.researchgate.net/publication/302966559_Maxwell%27s_Original_Equations